Production de pièces

Pour produire des pièces métalliques, un atelier utilise trois machines identiques \(\text M_1\) , \(\text M_2\)  et \(\text M_3\) plus ou moins récentes. La fabrication se répartit sur ces trois machines, chaque machine produisant une pièce finie. Une pièce fabriquée comporte parfois un défaut, selon le degré de vétusté de la machine qui l’a produite.

La répartition de la fabrication sur les trois machines et la fréquence des défauts sont données par le tableau suivant :

On prélève au hasard une pièce dans la production. On appelle \(\text D\)  l'événement « La pièce prélevée présente un défaut » et \(\text M_i\)  l'événement « La pièce a été fabriquée par la machine \(\text M_i\)  » pour `i = 1, 2, 3` .

1. Calculer \(P(\text D)\) .

2. La pièce tirée présente un défaut. Quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par la machine \(\text M_1\)  ?

3. Les événements \(\text D\)  et \(\text M_1\)  sont-il indépendants ?